Calculs hypothécaires

Je regarde les maisons et condos depuis un certain temps déjà, histoire de sentir un peu ce que l’achat implique pour un emprunteur. J’ai pris la peine de rechercher différentes informations comme les conditions et les options pour une assurance hypothèque, les frais associés à l’habitation (charge de copropriété, taxe scolaire, etc.) ainsi que les taux d’intérêt associés à un prêt. J’ai donc voulu mettre tout cela en commun afin d’avoir un aperçu de mes paiements par mois ainsi que ce que cela engendre sur une période plus longue comme 5, 10 ou même 25 ans. J’ai ainsi eu l’occasion de faire certains calculs qui seront utiles à plusieurs pour comprendre comment les paiements hypothécaires sont calculés. En particulier, je veux exposer trois calculs clefs dans la prévision des avantages et inconvénients d’acheter une propriété versus louer un logement:

le paiement bancaire régulier (hypothèque et intérêt);
le montant de prêt hypothécaire payée sur $n$ années;
et l’intérêt sur le prêt payé sur $n$ années.

Paiements bancaires

Admettons qu’on ait un prêt octroyé par une banque pour une habitation. Ce prêt s’appelle «prêt hypothécaire». Celui-ci a une valeur qui varie dans le temps puisqu’on fait des paiements mensuels afin de le réduire. Notons $H_k$ le montant du prêt hypothécaire courant après la $k^{e}$ année, c.-à-d. ce qui reste à payer après $k$ années de paiement. Le montant du prêt sera donc noté $H_0$. Notons maintenant $P$ le paiement bancaire à faire par année pour arriver à payer notre prêt au fil des années. Il faut bien sûr considérer aussi finalement l’intérêt sur le prêt. Notons-le pourcentage associé à l’intérêt par année $i$. Bien entendu, $i$ a comme domaine de valeurs l’intervalle $[0,1]$. De cela, si on souhaitait payer notre prêt en une seule année, on pourrait alors écrire:

$$ H_0 + iH_0 = P $$

Ici, on lit la relation comme «le paiement à faire est la somme du prêt en plus des intérêts sur le prêt.

Cette relation peut se réécrire comme:

$$ H_0(i+1) - P = 0 $$

Pour le besoin de la cause, c’est la forme qu’on garde pour le reste du document. Or, si on souhaitait payer en deux ans, on aurait alors:

$$ (H_0(i+1) - P)(i+1) - P = 0 $$

Bien sûr! Puisque la seconde année, la somme restante à payer, c’est-à-dire le montant hypothécaire en plus des intérêts sur la première année avec le tout retranché du premier paiement, était $S_0 = H_0(i+1) - P$. Dans l’expression ci-haut, on voit bien que cette quantité a été multipliée par $(i+1)$, comme c’était le cas pour $H_0$ la première année. En fait, on retrouve la même forme que pour la première année si on substitute $S_0$ dans l’équation:

$$ S_0(i+1) - P = 0,\quad\text{avec}\ S_0 = H_0(i+1) - P $$

Notez bien qu’ici, $P$ ne vaut pas la même quantité que dans le scénario où on paie tout en une année. Bien sûr, le montant est un peu plus gros que la moitié de l’ancien montant pour $P$. Bref, si on continuait le procédé jusqu’à $n$ années, on aurait alors:

$$ (…(H_0(i+1) - P)(i+1) - P …)(i+1) - P = 0 $$

où $H_0$ (ou $P, i$) apparaîtrait $n$ fois dans l’expression. Reprenons l’expression de départ et réordonnançons le tout:

$$ H_0(i+1) - P = 0 \implies H_0 = \frac{P}{(i+1)} $$

Faisons maintenant la même chose avec la seconde expression:

$$ H_0 = \frac{P}{(i+1)} + \frac{P}{(i+1)^2} $$

Encore, une fois pour la bonne cause, avec $n=3$:

$$ H_0 = \frac{P}{(i+1)} + \frac{P}{(i+1)^2} + \frac{P}{(i+1)^3} $$

On voit maintenant apparaître un motif régulier! L’exposant du dénominateur augmente sur chaque terme et le numérateur reste constant. Lorsque $n$ possède une valeur arbitraire, on peut donc réécrire comme:

$$ H_0 = P \left( \frac{1}{(i+1)} + \frac{1}{(i+1)^2} + \frac{1}{(i+1)^3} + … + \frac{1}{(i+1)^n} \right) $$

Notons maintenant l’expression $\frac{1}{i+1}$ par $r$. La série (partielle) qui se trouve entre parenthèse est bien connue, il s’agit de la série géométrique. Il est facile à démontrer qu’elle équivaut à l’expression suivante:

$$ \frac{r - r^{n+1}}{1 - r} $$

Par conséquent, on peut écrire:

$$ H_0 = P \frac{r - r^{n+1}}{1 - r} $$

Ce qui mène évidemment à ce que:

$$ P = H_0\frac{1 - r}{r - r^{n+1}} $$

Et voilà! On a maintenant une formule exacte du paiement bancaire à effectuer à la banque à chaque année si on souhaite régler le paiement de notre hypothèque $H_0$ après $n$ années suivant le taux d’intérêt $i$.

Paiement par mois

Cependant, la réalité est un peu différente. On calcule normalement l’intérêt chaque mois. Ce faisant, pour déterminer le paiement mensuel, on devrait plutôt faire le même calcul, mais pour $m$ le nombre de mois sur lequel le prêt sera remboursé. Par contre, il faudra ajuster le taux d’intérêt en proportion à ce nouveau calcul. On pourrait donc obtenir la formule suivante:

$$ P = H_0\frac{1 - r}{r - r^{m+1}},\quad\text{avec } r = \frac{12}{i+12} $$

Puisque le taux d’intérêt est normalement donné sur l’année, on divise celui-ci par 12.

Exemple

Si on a un hypothèque de 200000 dollars avec un taux d’intérêt de 2% par années et qu’on souhaite régler le paiement de la dette en 25 ans, alors on aura un paiement régulier par mois à faire de:

$$ \begin{align} P &= 200000 \cdot \frac{1 - 12\cdot(12.02)^{-1}}{12\cdot(12.02)^{-1} - 12^{301}\cdot(12.02)^{-301}}\\ &= 847.71 \end{align} $$

Voilà qui est bien! Ceci dit, connaître le paiement bancaire ne donne pas la totalité de l’information intéressante. En effet, soit $y_k$ l’intérêt à payer et $x_k$ le montant de prêt hypothécaire payé, tous deux respectivement le $k^{e}$ mois. On a bien sûr la relation suivante pour tout $k$:

$$ P = y_k + x_k $$

Ce faisant, même si on connaît $P$, on ne sait pas encore quelle portion va dans les intérêts à payer et quelle portion va dans le montant de prêt hypothécaire. Puisque le montant d’hypothèque réduit à chaque mois, il est clair que la portion d’intérêt dans le paiement régulier $P$ va descendre au fil du temps. Mais comment connaître $x_k$ et $y_k$? Plus particulièrement, les sommes payées après $n$ mois sont d’un grand intérêt (sans jeu de mot :) )!

Portion d’hypothèque du paiement bancaire

Dans la dernière section, nous avons déterminé le calcul pour le paiement bancaire régulier à faire par mois pour régler sa dette après $m$ mois. Qu’en est-il de la somme d’hypothèque payée après $m$ mois? Bien sûr, si on effectue notre paiement sur 25 ans et qu’on s’interroge à connaître $\sum_{k=1}^{m} x_k$ pour $m = 25 \cdot 12$, il est clair que cela est équivalent au montant de prêt hypothécaire final $H_0$ puisqu’on a réglé $P$ de sorte qu’on ait tout payé après 25 ans. Mais, si on s’intéressait plutôt au montant de prêt hypothécaire payée après 5 ans pour un paiement qui s’effectue sur 25 ans?

Premièrement, notons le pourcentage d’intérêt proportionnel par mois par $\iota$. Il est défini par $\frac{i}{12}$. En reprenant le contexte de la section précédente, on peut écrire que:

$$ x_1 = P - \iota{}H_0 $$

puisque $x_1$ étant le montant de prêt hypothécaire payé le premier mois, on trouve que le paiement bancaire total retranché de l’intérêt sur le premier mois, c.-à-d. l’intérêt appliquée sur le montant de prêt hypothécaire $H_0$, va nécessairement nous laisser avec la valeur d’hypothèque payée ce mois-ci. Bien, mais on aimerait connaître $x_1, x_2, …, x_m$… Essayons de voir ce qui se passe avec $x_2$:

$$ x_2 = P - \iota{}H_1 $$

Or, on sait que $H_1 = H_0 - x_1$ puisque $x_1$ est la première portion d’hypothèque payée le premier mois qu’on retranche à $H_0$. On peut donc écrire:

$$ x_2 = P - \iota{}(H_0 - x_1) = P - \iota{}(H_0 - P + \iota{}H_0) $$

En réarrangeant le tout, on trouve:

$$ x_2 = P(1+\iota{}) - \iota{}H_0(1+\iota{}) $$

Se peut-il qu’on tombera sur une formule récurrente cette fois-ci encore? :) Essayons de voir ce que $x_3$ nous réserve:

$$ x_3 = P - \iota{}(H_0 - x_2 - x_1) $$

Évidemment, $H_0 - x_2 - x_1$ est le montant de prêt hypothécaire le $3^{e}$ mois, donc si on y multiplie le pourcentage d’intérêt et qu’on retranche cette valeur à $P$, on va trouver le montant de prêt hypothécaire payé le $3^{e}$ mois. En faisant comme pour $x_2$, on retrouve l’expression suivante:

$$ x_3 = P - \iota{} (H_0 - (P(1+\iota{}) - \iota{}H_0(1+\iota{})) - (P - \iota{}H_0)) $$

On peut alors réécrire le tout comme:

$$ x_3 = P(1+2\iota{}+\iota{}^2) - \iota{}H_0(1+2\iota{}+\iota{}^2) $$

Par le même procédé, on trouve:

$$ x_4 = P(1+3\iota{}+3\iota{}^2+\iota{}^3) - \iota{}H_0(1+3\iota{}+3\iota{}^2+\iota{}^3) $$

$$ x_5 = P(1+4\iota{}+6\iota{}^2+4\iota{}^3+\iota{}^4) - \iota{}H_0(1+4\iota{}+6\iota{}^2+4\iota{}^3+\iota{}^4) $$

Clairement, il y a un motif qui s’installe dans ces expressions et qui les lie toutes entre elles. En effet, on peut remarquer deux choses liant $x_1, x_2, x_3, x_4$ et $x_5$:

le polynôme de l’expression $x_k$ est de degré $k-1$.
les coefficients de chacun des termes du polynôme respecte une certaine symétrie. D’abord, $1$, ensuite $1 — 1$, puis $1 — 2 — 1$, $1 — 3 — 3 — 1$ et enfin $1 — 4 — 6 — 4 — 1$. La suite des coefficients constitue donc un palindrome, c.-à-d. qu’on peut la lire de gauche à droite ou de droite à gauche et la lecture est la même.

Généraliser le premier point est rapide, il s’agit d’une simple boucle, mais pour ce qui est du second point, c’est plus compliqué. Heureusement, il s’agit là d’un motif connu! On le retrouve dans le fameux Triangle de Pascal:

Les coordonnées de ce triangle sont déterminées par une combinaison notée $C(n, k)$ ou $n \choose k$ qui est définie par l’expression suivante:

$$ {n \choose k} = \frac{n!}{(n-k)!k!} $$

pour $n \ge 0$ et $0 \le k \le n$. En effet, le premier terme de notre suite, en haut du triangle, à la position $(0,0)$, est donc donné par:

$$ {0 \choose 0} = \frac{0!}{(0-0)!0!} = 1 $$

La seconde ligne est donc trouvée par:

$$ {1 \choose 0}\ — {1 \choose 1} $$

c.-à-d. $1 — 1$. On a ensuite les termes de la $3^{e}$ ligne avec:

$$ {2 \choose 0}\ — {2 \choose 1}\ — {2 \choose 2} $$

ou encore $1 — 2 — 1$. Ce faisant, on peut donc réécrire notre expression pour $x_5$ comme:

$$ x_5 = (P - \iota{}H_0)\left( {4 \choose 0} +{4 \choose 1}\iota{} +{4 \choose 2}\iota{}^2 +{4 \choose 3}\iota{}^3 +{4 \choose 4}\iota{}^4 \right) $$

où $P - \iota{}H_0$ est la factorisation de $P$ et $\iota{}H_0$ tous deux multipliés au même polynôme. Par conséquent, on a de façon plus succincte:

$$ x_5 = (P - \iota{}H_0)\sum_{k=0}^{4} {4 \choose k}\iota{}^{k} $$

Plus généralement, on écrira donc:

$$ x_m = (P - \iota{}H_0)\sum_{k=0}^{m-1} {m-1 \choose k}\iota{}^{k} $$

Or, l’expression $\sum_{k=0}^{m-1} {m-1 \choose k}\iota{}^{k}$ est très connue! Il s’agit d’un binôme de Newton qui correspond à l’expression $(\iota{}+1)^{m-1}$. Ce faisant, on peut réécrire $x_m$ comme suit:

$$ x_m = (P - \iota{}H_0)(\iota{}+1)^{m-1} $$

Exemple

En reprenant les hypothèses de l’exemple précédent, on a:

$$ \begin{cases} H_0 &= 200000 \\ i &= 0.02 \\ P &= 847.71 \end{cases} $$

Ce faisant, l’intérêt par mois est $\iota = \frac{i}{12}$. Le paiement d’hypothèque le premier mois serait donc:

$$ x_1 = (P - \iota{}H_0)(\iota{}+1)^{1-1} = P - \iota{}H_0 = 847.71 - \frac{0.02}{12} \cdot 200000 = 532.77 $$

Remarque: Dans le calcul de l’exemple, le lecteur devrait remarquer qu’à droite de la seconde égalité, l’expression de $x_1$ était ramenée à sa plus simple forme, c.-à-d. tel que décrite au départ plus haut dans le document comme $P - \iota{}H_0$. Cette étape a explicitement été laissé afin qu’on remarque le bon fonctionnement de la formule, du moins pour le cas $m=1$.

Voilà qui est bien. Cependant, je dois rappeler au lecteur que cette expression ne nous fournit que la valeur du montant de prêt hypothécaire à payer le $m^{e}$ mois. Il serait intéressant d’obtenir la somme d’hypothèque payée au bout de $m$ mois. Notons cette somme au bout de $m$ mois $X_m$. Cela correspond donc à l’expression suivante:

$$ X_m = \sum_{k=1}^m x_k = (P - \iota{}H_0) \sum_{k=1}^m (\iota{}+1)^{k-1} $$

Cette expression se résoud finalement à:

$$ X_m = (P - \iota{}H_0) \frac{(\iota{}+1)^m - 1}{\iota{}} $$

Vérifions! Avec les mêmes hypothèses que précédemment, on devrait arriver, pour $m=300$, à $H_0 = 200000$ puisqu’après 25 ans (300 mois), on aura tout payé:

$$ (847.71 - \frac{0.02}{12}\cdot 200000) \frac{\left(\frac{0.02}{12}+1\right)^{300}-1}{\frac{0.02}{12}} = 200000.51 $$

L’écart de 0.51$ ici s’explique par les chiffres que j’ai arrondis pour l’écriture. En gardant une plus grande précision sur le nombre de chiffres après la virgule, on arriverait évidemment à $H_0 = 200000$. Faites le test!

Maintenant qu’on a le montant de prêt hypothécaire payé, on aimerait aussi avoir la somme d’intérêt payé!

Portion d’intérêt du paiement bancaire

Le plus gros est déjà fait!!! En effet, comme j’ai dit au départ,

$$ P = y_k + x_k,\quad \text{pour tout}\ k $$

Ce faisant, comme on connait $P$ et $x_k$, on a donc aussi $y_k = P - x_k$. Notons la somme d’intérêt payée au bout de $m$ mois $Y_m$. Il s’en suit que:

$$ \begin{align} Y_m = \sum_{k=1}^m y_k &= \sum_{k=1}^m \left(P - x_k\right)\\ &= \sum_{k=1}^m P - \sum_{k=1}^m x_k\\ &= mP - \sum_{k=1}^m x_k\\ \end{align} $$

Finalement, comme on connaît l’expression de la somme sur $x_k$, c.-à-d. $X_m$, on écrit:

$$ Y_m = mP - (P - \iota{}H_0) \frac{(\iota{}+1)^m - 1}{\iota{}} $$

Exemple

Selon les hypothèses faites plus haut:

$$ \begin{cases} H_0 &= 200000 \\ i &= 0.02 \\ P &= 847.71 \end{cases} $$

le lecteur est invité à calculer la somme d’intérêt payée après 5 ans, c’est-à-dire calculer $Y_5$.

Rappel: l’intérêt par mois est donné par $\iota{} = \frac{i}{12}$.

Conclusion

Ces calculs sont déterminants dans l’examen de l’avantage à acheter une propriété. Cependant, ces chiffres ne sont pas suffisants puisqu’il faut aussi considérer les frais qui s’ajoutent à l’habitation comme j’ai mentionné plus haut dans l’article. Bien sûr d’autres facteurs jouent comme la mise de fond initiale disponible, les frais ponctuels à l’achat (notaire, droits de mutation, etc.), le coût d’un courtier lors de la vente de la propriété ainsi que l’augmentation potentielle moyenne de la valeur de la propriété. En effet, afin de calculer l’avantage d’un achat, il est primordial de calculer les frais de vente puisqu’une habitation constitue un actif considérable qui pèse dans la balance. Certains scénarios peuvent présenter des profits de plusieurs milliers de dollars lors d’une vente qu’après 5 ans de possession. Par ailleurs, l’acquisition d’une propriété amène aussi la capacité de louer le lieu d’habitation, ce qui offre en soi une dimension de flexibilité.